Математические методы анализа в биологии и медицине

• Матрицы и действия над ними. Понятие обратной матрицы. Ранг матрицы. Определители второго и третьего порядка, их свойства. Решение задачи на смещение популяций. Применение теории матриц к решению биологических задач.
• Системы линейных алгебраических уравнений. Критерий совместности системы линейных уравнений. Матричная запись системы линейных алгебраических уравнений. Методы решения систем: матричный, формулы Крамера, метод Гаусса. Однородные системы линейных алгебраических уравнений. Решение практической проблемы использования матричного исчисления (популяционная динамика, сбалансированное питание животных, оценка состояния сердечно-сосудистой системы).
• Определение и способы задания функции. Обзор элементарных функций и их графиков. Сложная и обратная функция. Число е. Предел функции. Первый и второй замечательные пределы, их следствия. Описание всасывания и выведения лекарств экспоненциальной функции от времени. Рассмотрение на примере нахождения равновесного содержания лекарства в крови.
• Понятие производной, геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования и производные элементарных функций. Производная сложной функции. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование параметрически и неявно заданных функций. Дифференциал функции, геометрический смысл дифференциала. Свойства и применение дифференциалов к приближенным вычислениям. Производные и дифференциалы высших порядков. Рассмотрение на примере определения скорости растворения лекарственных веществ из таблеток. Решение практической проблемы определения условий, при которых скорость биологического процесса наиболее чувствительна к каким-либо воздействиям.
• Возрастание и убывание функций, максимумы и минимумы, наибольшие и наименьшие значения функций. Выпуклость и вогнутость графика функции, точки перегиба. Асимптоты к графику функции. Построение графиков функций. Рассмотрение на примере нахождения максимальной степени реакции организма на введенное лекарство. Решается проблема определения дозы лекарства, при которой реакция организма максимальна.
• Понятие функции нескольких переменных, геометрическое изображение, предел, непрерывность. Частные производные и полный дифференциал функции нескольких переменных. Частные производные и дифференциалы высших порядков. Экстремум функции двух переменных. Рассмотрение на примере нахождения дозы лекарственного препарата, при которой реакция организма окажется максимальной и время наступления максимальной реакции.
• Понятие первообразной и неопределенного интеграла, свойства. Правила интегрирования, таблица интегралов. Основные методы интегрирования неопределенных интегралов (замена переменной, интегрирование по частям). Рассмотрение на примере составления уравнения растворения лекарственного вещества, при заданном уравнении скорости растворения лекарственного вещества. Применение первообразных и интегралов в биологических и физических задачах.
• Понятие определенного интеграла, свойства. Геометрический смысл определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем. Методы интегрирования определенных интегралов. Приложения определенного интеграла. Нахождение концентрации лекарственного препарата в определенный момент времени (по известной скорости изменения концентрации).
• Несобственные интегралы по бесконечному промежутку (1-го рода); несобственные интегралы от неограниченных функций на отрезке (2-го рода); несобственные интегралы от разрывных функций на отрезке); признаки сходимости несобственных интегралов. Оценка параметров AUC и AUHC. Применение интегралов для оценки кислотоподавляющих свойств лекарственных препаратов.
• Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Понятие дифференциального уравнения. Дифференциальное уравнение первого порядка, его общее решение и начальные условия. Уравнения с разделяющимися переменными. Линейные, однородные дифференциальные уравнения первого порядка, дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Применение дифференциальных уравнений первого порядка в медицине (закон растворения лекарственных форм вещества из таблеток, дифференциальные уравнения в теории эпидемий). Уравнения фармакокинетики 1-го порядка.
• Понятие о дифференциальных уравнениях высших порядков. Дифференциальные уравнения второго порядка, его общее решение и начальные условия, уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод Лагранжа. Метод Эйлера решения линейных однородных систем с постоянными коэффициентами. Матричный метод решения линейных однородных систем с постоянными коэффициентами. Линейные неоднородные системы. Метод вариации произвольной постоянной. Метод Эйлера решения неоднородных систем. Исследование систем с помощью метода фазовой плоскости. Пример двухкамерной фармакокинетической модели. Описание эволюции изучаемого процесса, характера происходящих с системой изменений в зависимости от первоначального состояния системы.
• Численные методы решения дифференциальных уравнений: (метод Рунге-Кутта и метод Эйлера). Использование для решения поставленных задач прикладного программного обеспечения (средства MathCad или Maple), предоставляющего широкие возможности для решения дифференциальных уравнений. Моделирование биологических процессов.

Зачет

• Арнаутов Владимир